Представляет собой геометрическое тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями и цилиндрической поверхностью.
Цилиндр состоит из боковой поверхности и двух оснований. Формула площади поверхности цилиндра включает в себя отдельный расчет площади оснований и боковой поверхности. Так как основания в цилиндре равны, то полная его площадь будет рассчитываться по формуле:
Пример расчета площади цилиндра мы рассмотрим после того, как узнаем все необходимые формулы. Для начала нам понадобится формула площади основания цилиндра. Так как основанием цилиндра является круг, то нам потребуется применить : 
Мы помним, что в этих расчетах используется постоянное число Π = 3,1415926, которое рассчитано как соотношение длины окружности к ее диаметру. Это число является математической константой. Пример расчета площади основания цилиндра мы также рассмотрим чуть позже.
Площадь боковой поверхности цилиндра
Формула площади боковой поверхности цилиндра представляет собой произведение длины основания на его высоту:
А теперь рассмотрим задачу, в которой нам потребуется рассчитать полную площадь цилиндра. В заданной фигуре высота h
= 4 см, r
= 2 см. Найдем полную площадь цилиндра.
Для начала рассчитаем площадь оснований:
Теперь рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности цилиндра. В развернутом виде она представляет прямоугольник. Его площадь рассчитывается по приведенной выше формуле. Подставим в нее все данные:
Полная площадь круга представляет собой сумму двойной площади основания и боковой:
Таким образом, используя формулы площади оснований и боковой поверхности фигуры, мы смогли найти полную площадь поверхности цилиндра.
Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, в котором стороны равны высоте и диаметру цилиндра.
Формула площади осевого сечения цилиндра выводится из формулы расчета :
Формула радиуса цилиндра:
где V - объем цилиндра, h - высота
Цилиндр - геометрическое тело, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны. Также, цилиндр представляет собой тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее. Эта поверхность образуется при движении прямой параллельно самой себе. При этом выделенная точка прямой перемещается вдоль определенной плоской кривой (направляющая). Данная прямая называется образующей цилиндрической поверхности.
Формула радиуса цилиндра:
где Sb - площадь боковой поверхности, h - высота
Цилиндр - геометрическое тело, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны. Также, цилиндр представляет собой тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее. Эта поверхность образуется при движении прямой параллельно самой себе. При этом выделенная точка прямой перемещается вдоль определенной плоской кривой (направляющая). Данная прямая называется образующей цилиндрической поверхности.
Формула радиуса цилиндра:
где S - площадь полной поверхности, h - высота
Площадь поверхности цилиндра. В этой статье мы рассмотрим задания связанные с площадью поверхности . На блоге уже рассмотрены задания с таким телом вращения как конус. Цилиндр тоже относится к телам вращения. Что требуется и нужно знать о площади поверхности цилиндра? Давайте посмотрим на развёртку цилиндра:
Верхнее и нижнее основание это два равных круга:
Боковая поверхность это прямоугольник. При чём одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра, а другая длине окружности основания. Напомню, что длина окружности равна:
Итак, формула поверхности цилиндра:
*Учить эту формулу не нужно! Достаточно знать формулы площади круга и длины его окружности, тогда вы всегда сможете записать указанную формулу. Важно её понимание! Рассмотрим задачи:
Длина окружности основания цилиндра равна 3. Площадь боковой поверхности равна 6. Найдите высоту и площадь поверхности цилиндра (считайте, что число Пи равно 3,14 и результат округлите до десятых).
Площадь полной поверхности цилиндра:
Даны длина окружности основания и площадь боковой поверхности цилиндра. То есть, нам дана площадь прямоугольника и одна его сторона, требуется найти другую сторону (это есть высота цилиндра):
Требуется радиус и тогда мы сможем найти указанную площадь.
Длина окружности основания равна трём, тогда запишем:
Таким образом
Округляем до десятых, получаем 7,4.
Ответ: h = 2; S = 7,4
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 72Пи, а диаметр основания - 9. Найдите высоту цилиндра.
Значит
Ответ: 8
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 64Пи, а высота - 8 . Найдите диаметр основания.
Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле:
Диаметр равен двум радиусам, значит:
Ответ: 8
27058. Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на Пи.
27133. Длина окружности основания цилиндра равна 3, высота равна 2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Рассмотрим цилиндр вращения радиуса R и высоты h (рис. 383). В основание этого цилиндра впишем правильный многоугольник (на рис. 383 - шестиугольник) и с его помощью построим правильную призму, вписанную в цилиндр. Таким же путем можно описывать вокруг цилиндра правильные призмы с произвольно большим числом боковых граней.
За площадь боковой поверхности цилиндра принимается по определению предел, к которому стремятся площади боковых поверхностей вписанных и описанных вокруг него правильных призм по мере неограниченного удвоения (или вообще увеличения) числа их боковых граней.
То, что такой предел существует, мы сейчас и докажем. Если возьмем вписанную правильную призму, построенную на правильном -угольнике, как на основании, то для ее боковой поверхности будем иметь выражение , где - периметр правильного -угольника, вписанного в круг основания цилиндра. При . Точно такое же вычисление для описанной призмы дает тот же самый результат. Итак, площадь боковой поверхности цилиндра вращения выражается формулой
Боковая поверхность цилиндра равна произведению длины образующей на периметр (т. е. длину окружности) основания.
Задача 1. Отрезок, соединяющий диаметрально противоположные точки А и В верхнего и нижно оснований цилиндра (рис. 384), равен 10 см и наклонен к плоскости основания под углом в 60°. Найти площадь боковой поверхности цилиндра.
Решение. Проведем через отрезок Л Всечение плоскостью, перпендикулярной к основанию цилиндра. Из треугольника имеем
откуда находим для боковой поверхности цилиндра
Задача 2. Треугольник ABC, вершины А и В которого суть концы диаметра нижнего основания цилиндра, а вершина С-конец перпендикулярного к нему диаметра верхнего основания, равносторонний со стороной а,
Найти площади боковой и полной поверхностей цилиндра. Решение. Радиус основания цилиндра равен Высота треугольника ABC (рис. 385) равна а образующая цилиндра вычисляется как
Отсюда боковая поверхность цилиндра получается равной
а полная поверхность (равная сумме площади боковой поверхности и площади двух оснований цилиндра) равна
Упражнения
1. Диагонали боковых граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости основания под углами, соответственно равными . Найти угол наклона к той же плоскости диагонали параллелепипеда.
2. В прямом параллелепипеде острый угол основания равен а, а одна из сторон основания равна а. Сечение, проведенное через эту сторону и противоположное ребро верхнего основания, имеет площадь Q, и плоскость его наклонена к плоскости основания под углом . Найти объем и полную поверхность параллелепипеда.
3. Основанием наклонной треугольной призмы служит равнобедренный прямоугольный треугольник, а проекция одного из боковых ребер на плоскость основания совпадает с медианой m одного из катетов треугольника. Найти угол наклона боковых ребер к плоскости основания, если объем призмы равен V.
4. В правильной шестиугольной призме через сторону основания проведены два сечения: 1) содержащее противоположную сторону верхнего основания, 2) содержащее центр верхнего основания. При какой высоте призмы угол между плоскостями сечений имеет наибольшую величину и чему он равен в этом случае?
Как вычислить площадь поверхности цилиндра - тема данной статьи. В любой математической задаче начать нужно с ввода данных, определить, что известно и чем оперировать в дальнейшем, и лишь затем приступить непосредственно к расчету.
Данное объёмное тело представляет собой геометрическую фигуру цилиндрической формы, ограниченную сверху и снизу двумя параллельными плоскостями. Если приложить немного воображения, то можно заметить, что геометрическое тело образуется вращением прямоугольника вокруг оси, причем осью является одна из его сторон.
Отсюда вытекает, что описываемая кривая сверху и снизу цилиндра будет окружностью, основным показателем которой является радиус или диаметр.
Площадь поверхности цилиндра — онлайн калькулятор
Данная функция окончательно облегчает процесс расчета, и все сводится лишь автоматическому подставлению заданных значений высоты и радиуса (диаметра) основания фигуры. Единственное, что требуется - точно определить данные и не ошибиться при вводе цифр.
Площадь боковой поверхности цилиндра
Сначала нужно представить, как выглядит развертка в двухмерном пространстве.
Это не что иное, как прямоугольник, одна сторона которого равна длине окружности. Формула ее известна с незапамятных времен -2π * r , где r - радиус окружности. Другая сторона прямоугольника равна высоте h . Найти искомое не составит труда.
S бок = 2π * r * h ,
где число π = 3.14.
Площадь полной поверхности цилиндра
Для нахождения полной площади цилиндра нужно к полученной S бок добавить площади двух окружностей, верха и низа цилиндра, которые считаются по формуле S о = 2π * r 2 .
Конечная формула выглядит следующим образом:
S пол = 2π * r 2 + 2π * r * h.
Площадь цилиндра — формула через диаметр
Для облегчения расчетов иногда требуется произвести вычисления через диаметр. Например, имеется кусок полой трубы известного диаметра.
Не утруждая себя лишними расчетами, имеем готовую формулу. На помощь приходит алгебра за 5 класс.
S пол = 2 π * r 2 + 2 π * r * h = 2 π * d 2 /4 + 2 π * h * d /2 = π * d 2 /2 + π * d * h ,
Вместо r в полную формулу нужно вставить значение r = d/2 .
Примеры расчета площади цилиндра
Вооружившись знаниями, приступаем к практике.
Пример 1. Нужно вычислить площадь усеченного куска трубы, то есть цилиндра.
Имеем r = 24 mm, h = 100 mm. Использовать необходимо формулу через радиус:
S пол = 2 * 3.14 * 24 2 + 2 * 3.14 * 24 * 100 = 3617,28 + 15072 = 18689,28 (мм 2).
Переводим в привычные м 2 и получаем 0,01868928, приблизительно 0.02 м 2 .
Пример 2. Требуется узнать площадь внутренней поверхности печной асбестовой трубы, стенки которой облицованы огнеупорным кирпичом.
Данные следующие: диаметр 0,2 м; высота 2 м. Используем формулу через диаметр:
S пол = 3.14 * 0.2 2 /2 + 3,14 * 0.2 * 2 = 0,0628 + 1.256 = 1.3188 м 2 .
Пример 3. Как узнать, сколько материла нужно для пошива мешка, r = 1 м и высотой 1 м.
Один момент, есть формула:
S бок = 2 * 3.14 * 1 * 1 = 6.28 м 2 .
Заключение
В конце статьи назрел вопрос: а так ли необходимы все эти вычисления и переводы одних значений в другие. Зачем все это нужно и самое главное, для кого? Но не стоит пренебрегать и забывать простые формулы из средней школы.
Мир стоял и будет стоять на элементарных познаниях, из математики, в том числе. И, приступая к какой-нибудь важной работе, никогда не лишне освежить в памяти данные выкладки, применив их на практике с большим эффектом. Точность – вежливость королей.
